ICPCアジア地区横浜大会2018 H問題 : Four-Coloring

問題. Four-Coloring

無向グラフ の平面描画が与えられる．頂点 の座標を としたとき，各辺 に対して ， または が成立つ．このとき， の4彩色を求めよ．
制約： ，　（整数座標）

解法

解法は「四色定理の紹介と五色定理の証明 | 高校数学の美しい物語」です．．．

上のサイトでは平面的グラフが5彩色可能であることを示しています．そこでの証明のポイントは次数が5以下の頂点が存在することでした（平面的グラフの辺数は少ない ）．今回の問題では次数が4以下の頂点が必ず存在するので，上のサイトの証明と同様にして が4彩色可能であることが示せます．また，この帰納法による証明をアルゴリズムとして見ることで4彩色を求めることができます．

具体的には，まだ塗られていない頂点の中で一番上にあり，その中で最も左にあるものに着目します．この頂点を とします．このとき， に隣接しており，かつ，既に塗られている頂点数は高々4となります．それらの頂点が3色以下で塗られているときは，余った色で を塗ります．それ以外のときは，全て異なる色で塗られており4色すべて使われているので考える必要があります．
下の図のように， に隣接している頂点を として，それぞれが色 で塗られているとします．初めに， から で塗られている頂点だけを使用して到達可能な頂点部分集合 を求めます．このとき， ならば， の頂点の色を で反転させることによって を で塗ることができます． のときは，同様に から で塗られている頂点だけを使用して到達可能な頂点部分集合 を調べます． ならば の頂点の色を で反転させることによって を で塗ることができます．それ以外のとき，すなわち かつ のときは が平面的グラフであることから起こりえません．したがって，この操作をまだ塗られていない頂点が存在するまで繰り返すと4彩色を求めることができます．
　　
　　　　　　　　　　

計算時間：

ソースコードを表示

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Node { int x, y, c = -1; };
vector<Node> nodes;
vector<vector<int>> adj;
vector<bool> visited;

// cur から dst へ色 c1, c2 を使用して到達可能かを判定
bool CanReaach(const int cur, const int dst, const int c1, const int c2) {
    if (cur == dst) return true;

    visited[cur] = true;
    for (int u : adj[cur]) {
        if (visited[u] || (nodes[u].c != c1 && nodes[u].c != c2)) continue;
        if (CanReaach(u, dst, c1, c2)) return true;
    }
    return false;
}

// 色が c1 と c2 の頂点の色を反転させる（現在の頂点が cur）
void Coloring(const int cur, const int c1, const int c2) {
    visited[cur] = true;
    nodes[cur].c = (nodes[cur].c == c1 ? c2 : c1);
    for (int u : adj[cur]) {
        if (!visited[u] && (nodes[u].c == c1 || nodes[u].c == c2))
            Coloring(u, c1, c2);
    }
}

int main() {
    cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false);

    // Input
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    nodes.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> nodes[i].x >> nodes[i].y;

    adj.resize(n);
    for (int i = 0, u, v; i < m; ++i) {
        cin >> u >> v;
        adj[u - 1].push_back(v - 1);
        adj[v - 1].push_back(u - 1);
    }

    // Solve
    vector<int> order(n);
    iota(order.begin(), order.end(), 0);
    sort(order.begin(), order.end(), [&](int u, int v) {
            return (nodes[u].y > nodes[v].y) ||
                (nodes[u].y == nodes[v].y && nodes[u].x < nodes[v].x);
        });

    auto priority = [&](const int u, const int v) {
        if (nodes[u].y == nodes[v].y && nodes[u].x < nodes[v].x) return 0;
        else if (nodes[u].x == nodes[v].x && nodes[u].y > nodes[v].y) return 2;
        else if (nodes[u].x < nodes[v].x && nodes[u].y > nodes[v].y) return 1;
        else if (nodes[u].x > nodes[v].x && nodes[u].y > nodes[v].y) return 3;
        else return 4;
    };
    for (int v = 0; v < n; ++v) {
        sort(adj[v].begin(), adj[v].end(), [&](int u1, int u2) {
                return priority(u1, v) < priority(u2, v);
            });
    }

    visited.resize(n);
    array<int, 4> idx;
    array<bool, 4> color;
    for (const int v : order) {
        int deg = 0;
        color.fill(false);

        for (int u : adj[v])
            if (nodes[u].c != -1) {
                idx[deg++] = u;
                color[nodes[u].c] = true;
            }

        // 使用できる色が存在する
        bool can_color = false;
        for (int c = 0; c < 4; ++c)
            if (!color[c]) {
                nodes[v].c = c;
                can_color = true;
                break;
            }
        if (can_color) continue;

        // 隣接頂点で4色使用済み
        fill(visited.begin(), visited.end(), false);
        if (CanReaach(idx[0], idx[2], nodes[idx[0]].c, nodes[idx[2]].c)) {
            fill(visited.begin(), visited.end(), false);
            int v_c = nodes[idx[1]].c;
            Coloring(idx[1], nodes[idx[1]].c, nodes[idx[3]].c);
            nodes[v].c = v_c;
        }
        else {
            fill(visited.begin(), visited.end(), false);
            int v_c = nodes[idx[0]].c;
            Coloring(idx[0], nodes[idx[0]].c, nodes[idx[2]].c);
            nodes[v].c = v_c;
        }
    }

    // Output
    for (int v = 0; v < n; ++v)
        cout << nodes[v].c + 1 << '\n';

    return 0;
}

まとめ

好きな問題です．問題考えた人すごいな．